Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的一條直線與拋物線相交，交點為A、B．過AB的中點M作x軸的平行線交拋物線的準線于點C．求證：AC⊥BC．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：向量與圓錐曲線

分析：證AC⊥BC，即證

AC

⊥

BC

，即證

AC

•

BC

=0，設出點的坐標，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結合韋達定理，即可證明．

解答： 解：如圖：

①當直線AB的斜率不存在時，F(xiàn)（

p

2

，0），直線AB方程為x=

p

2

，則C（-

p

2

，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得

x= p 2 y2=2px

消去x得y²=p²，∴y₁=-p，y₂=p，A（

P

2

，-P），B（

P

2

，P），∴

AC

=(-p，p)，

BC

=(-p，-p)，
∴

AC

•

BC

=0，∴AC⊥BC．
②當當直線AB的斜率存在時，F(xiàn)（

p

2

，0），設直線AB方程為y=k（x-

p

2

），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C（-

p

2

，

y1+y2

2

），由題意得

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去y得，k2x2-(k2p+2p)x+

k2p2

4

=0，∴x₁+x₂=

k2p+2p

k2

，x₁x₂=

p2

4

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-kp=

2p

k

，y₁y₂=-p²，
∴

AC

=(-

p

2

-x1，

y2-y1

2

)，

BC

=(-

p

2

-x2，

y1-y2

2

)，
∴

AC

•

AB

=（

p

2

+x1）（

p

2

+x2）-

(y1-y2)2

4

=

p2

4

+

p

2

(x1+x2)+x1x2-

(y1+y2)2-4y1y2

4

=0
∴AC⊥BC．
綜上所述；AC⊥BC．

點評：本題主要考查直線與雙曲線的位置關系及向量垂直的充要條件等知識，考查學生分析問題、解決問題的能力及等價轉化能力、運算求解能力，屬于難題．