Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)是上的增函數(shù)求的取值范圍；

（2）若函數(shù)恰有兩個不等的極值點、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）問題轉(zhuǎn)化為對恒成立.求導(dǎo)后分離參數(shù)得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求得最小值，根據(jù)不等式恒成立的意義得到所求范圍；

（2）由，為兩個極值點不妨設(shè)，聯(lián)立極值點的條件，并結(jié)合要證不等式，消去a,將要證不等式轉(zhuǎn)化為只含有，的不等式，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為只含有的不等式，作換元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而證明即可.

解：（1），在上增函數(shù)等價于對恒成立.

即，設(shè)，，

		0
	－	0	+
		極小值

，故

（2）由

，由，為兩個極值點不妨設(shè)

則兩式相減得

要證明：等價于證明

即兩邊同除

等價于證明：，設(shè)

即，

設(shè)

由（1）可知：當(dāng)時，恒成立，成立，

即，∴

∴在單調(diào)遞減

∴

故成立.