Question

10．已知拋物線y²=-2px（p＞0）與直線y=k（x+1）相交于A，B兩點，且焦點到準線的距離為$\frac{1}{2}$．
（1）求該拋物線的方程；
（2）當△AOB的面積等于$\sqrt{10}$時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點和準線方程，可得焦準距為p，由題意可得p=$\frac{1}{2}$，即可得到拋物線方程；
（2）令A，B兩點的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，0），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去x，運用韋達定理，再由△AOB的面積為△AOC和△BOC的面積之和，由題意可得k的方程，解得即可．

解答 解：（1）拋物線y²=-2px（p＞0）的焦點為（-$\frac{p}{2}$，0），
準線方程為x=$\frac{p}{2}$，即有p=$\frac{1}{2}$，
則拋物線方程為y²=-x；
（2）令A，B兩點的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k（x+1）}\end{array}}\right.$，消去x，得ky²+y-k=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{1}{k}}\\{{y_1}•{y_2}=-1}\end{array}}\right.$，
令直線AB與x軸的交點為點C，即有C（-1，0），
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OC|•|{y_1}-{y_2}|=\frac{1}{2}×1×\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{k^2}+4}=\sqrt{10}$，
∴$k=±\frac{1}{6}$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，同時考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，注意三角形面積的求法的靈活性，屬于中檔題．