Question

6．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓x²+y²-6x+5=0截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的方程的漸近線方程，求得圓的圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，解方程可得a²=2b²，由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
圓x²+y²-6x+5=0即為（x-3）²+y²=4，
圓心為（3，0），半徑為2，
圓心到漸近線的距離為d=$\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
由弦長公式可得2=2$\sqrt{4-\frac{9^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$，
化簡可得a²=2b²，
即有c²=a²+b²=$\frac{3}{2}$a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，考查直線和圓相交的弦長公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．