Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A₁，A₂，左焦點為F，動直線x=m（|m|＜a）與E相交于P，Q兩點，A₁P與A₂Q的交點M的軌跡落在雙曲線

x2

2

-y2=1上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過F點的直線l與E相交A、B兩點，與圓x²+y²=a²相交于C、D兩點，求

|AB|

|CD|

的范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意設M（x，y），P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），由已知條件推導出M的軌跡M（x，y）的軌跡方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將AB：x=my-1代入橢圓方程得（m²+2）y²-2my-1=0，由此利用換元法和導數(shù)性質(zhì)能求出

|AB|

|CD|

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意設M（x，y），P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
則A1P：y=

y0

x0+a

(x+a)（1），A2Q：y=

-y0

x0-a

(x-a)（2），
將方程（1）（2）相乘得y2=-

y02

x02-a2

(x2-a2)…（3分）
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，
∴y02=

b2

a2

(a2-x02)，
代入上式，得y2=

b2

a2

(x2-a2)，
∴M（x，y）的軌跡方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
又∵M的軌跡在雙曲線

x2

2

-y2=1上，
∴所求的橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將AB：x=my-1代入橢圓方程得（m²+2）y²-2my-1=0，
∴|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

2 m2+m2+2

m2+2

=2

2

m2+1

m2+2

．…（8分）
而|CD|=2

2- 1 1+m2

=2

2m2+1 m2+1

．
∴λ=

|AB|

|CD|

=

2

(m2+1)3 (m2+2)2(2m2+1)

．       …（9分）
令t=

1

m2+1

，t∈[0，1]（AB為x軸時，m不存在，
此時t=0，λ=

2

-t3+3t+2

．
∵函數(shù)f（x）=-x³+3x+2，
∴f′（x）=-3x²+3，
由f′（x）=-3x²+3＜0，得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）=-x³+3x+2在[-1，1]上遞減，
∴t=0，即m不存在時，λ_max=1，t=1，即m=0時，λmin=

2

2

．
∴

|AB|

|CD|

的取值范圍是[

2

2

， 1]．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩條線段比值的取值范圍的求法，解題時要注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．