Question

已知{a_n}滿足an+1=

an

an+2

，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)c_n=（a_n+1）a_n+1，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）對(duì)已知a_n+1=

an

an+2

等號(hào)兩端取倒數(shù)，易證數(shù)列{

1

an

+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將（1）中所求的a_n=

1

2n-1

代入c_n=（a_n+1）a_n+1，列項(xiàng)后整理可得c_n=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，從而可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵

1

an+1

=

an+2

an

=1+

2

an

，
∴

1

an+1

+1=2（1+

1

an

），即

1 an+1 +1

1 an +1

=2，又

1

a1

+1=2，
∴數(shù)列{

1

an

+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴

1

an

+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=

1

2n-1

．
（2）∵c_n=（a_n+1）a_n+1=（

1

2n-1

+1）•

1

2n+1-1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴S_n=（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定與裂項(xiàng)法求和，對(duì)已知“a_n+1=

an

an+2

”等號(hào)兩端取倒數(shù)是關(guān)鍵，考查觀察、分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．