Question

已知f（x）=Inx，g（x）=+mx+（m＜0），直線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，切點的橫坐標(biāo)為1，且直線l與函數(shù)g（x）的圖象也相切．
（1）求直線l的方程及實數(shù)m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（3）當(dāng)0＜b＜a時，求證：f（a+b）﹣f（2a）＜．

Answer 1

解：（1）∵，∴f'（1）=1．
∴直線l的斜率為1，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點坐標(biāo)為（1，0）．
∴直線l的方程為y=x﹣1．
又∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，
∴方程組 有一解．
由上述方程消去y，并整理得x²+2（m﹣1）x+9=0 ①
依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=[2（m﹣1）]²﹣4×9=0 解之，得m=4或m=﹣2
∵m＜0，∴m=﹣2．
（2）由（1）可知 ，
∴g'（x）=x﹣2
∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．
∴
∴當(dāng)x∈（﹣1，0）時，h'（x）＞0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，h'（x）＜0．
∴當(dāng)x=0時，h（x）取最大值，其最大值為2，
（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．
∵0＜b＜a，
∴．
由（2）知當(dāng)x∈（﹣1，0）時，h（x）＜h（0）
∵當(dāng)x∈（﹣1，0）時，ln（1+x）＜x，ln（1+）＜．
∴f（a+b）﹣f（2a）＜