Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)。

（1）證明：DE⊥平面PBC；
（2）求EB與底面ABCD所成的角的正切值。

Answer 1

（1）證明：在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥BC， 又∵底面ABCD是正方形， ∴DC⊥BC， 又PD∩DC=D， ∴BC⊥面PDC， 又DE平面PDC， ∴DE⊥BC，                                          ① 在Rt△PDC中，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)， ∴DE⊥PC，                                          ② 又PC∩BC=C，                                       ③ 由①②③得，DE⊥面PBC。
（2）解：作EF⊥DC交CD于F，連結(jié)BF， 設(shè)正方形ABCD的邊長為a， ∵ PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥DC， ∴EF∥PD，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)， ∴EF⊥底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影， 故∠EBF為直線EB與底面ABCD所成的角。 在RtΔBCF中，， ∵， ∴在RtΔEFB中，， 所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為。