Question

設f（x）=sin2x+mcos2x，若對一切x∈R，都有f（x），則=    ．

Answer 1

【答案】分析：設出sinφ和cosφ，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意得到x=時，函數(shù)取得最值，故把x=代入函數(shù)解析式，求出的函數(shù)值等于最值±，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，從而確定出函數(shù)解析式，把x=的值代入即可求出f（）的值．
解答：解：由題意知：
f（x）=sin2x+mcos2x=sin（2x+φ），（sinφ=，cosφ=）
由題意得：當x=時函數(shù)f（x）=sin2x+mcos2x取到最值±，
將x=代入可得：sin（2×）+mcos（2×）==±，即m=1
∴f（x）=sin2x+mcos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），
則f（）=sin（2×+）=sin=．
故答案為：
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的單調性，以及特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是本題的突破點．