Question

已知O，A，B三點不共線，且＝m＋n，(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；

(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.

Answer 1

證明　(1)m，n∈R，且m＋n＝1，

∴＝m＋n＝m＋(1－m)，

即－＝m(－)．

∴＝m，而≠0，且m∈R.

故與共線，又，有公共點B.

∴A，P，B三點共線．

(2)若A，P，B三點共線，則與共線，故存在實數λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．

即＝λ＋(1－λ).

由＝m＋n.

故m＋n＝λ＋(1－λ).

又O，A，B不共線，∴，不共線．

由平面向量基本定理得

∴m＋n＝1.