Question

14．計(jì)算S_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$1×\frac{1}{{2}^{2}}$+$2×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+$n×\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
化為S_n=1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
故答案為：2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．