Question

5．給定直線y=a與函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）若直線y=a與f（x）的圖象有且僅有兩個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若直線y=a與f（x）的圖象有相異的三個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)的圖象，從而求出a的值；（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-1
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	↗	極大值2	↘	極小值-2	↗

作f （x）的草圖，如圖示：
，
（1）當(dāng)y=a經(jīng)過極值點(diǎn)時有且僅有兩個交點(diǎn)，此時a=±2．
（2）要使y=a與f （x）有三個不同的交點(diǎn)，由上圖知a∈（-2，2）．

點(diǎn)評 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義和用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題．