Question

4．已知實數(shù)x，y滿足可行域D：$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3≥0}\\{x-y+1≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}\right.$，曲線T：|x|+|y-5|+a=0，恰好平分可行域D的面積，則a的值為（　�。�

• A． -4
• B． -4$\sqrt{2}$
• C． -6
• D． 2$\sqrt{2}$-8

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，確定x，y的取值范圍將曲線進行化簡，利用面積關系進行轉化求即可即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：則A（0，1），C（3，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（2，3），
則x≥0且0≤y≤3，
則曲線T：|x|+|y-5|+a=0，等價為x-y+5+a=0，
則曲線x-y+5+a=0與直線AB：x-y+1=0平行，
則C到AB：x-y+1=0的距離d_AB=$\frac{|3-0+1|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．
∵T：|x|+|y-5|+a=0，恰好平分可行域D的面積，
∴設C到x-y+5+a=0的距離d，
則$（\fracrlz17lz{x1bdl11_{AB}}）^{2}=\frac{1}{2}$，即$\fracvz1lfzv{vvdbnv3_{AB}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}×3vf7jxp_{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}=2$，
則d=$\frac{|3-0+5+a|}{\sqrt{2}}=\frac{|8+a|}{\sqrt{2}}$=2，
即|a+8|=2$\sqrt{2}$，
解得a+8=2$\sqrt{2}$，或a+8=-2$\sqrt{2}$，
即a=2$\sqrt{2}$-8或a=-2$\sqrt{2}$-8（舍）．
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)圖象將曲線進行化簡是解決本題的關鍵，考查學生的運算和推理能力．