Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，|AA₁|=|BC|=1，|AC|=

2

，點(diǎn)M是BB₁的中點(diǎn)，Q是AB的中點(diǎn)．
（1）若P是A₁C₁上的一動(dòng)點(diǎn)，求證：PQ⊥CM；
（2）求二面角A-A₁B-C大小的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PQ⊥CM．
（2）求出平面AA₁B的法向量和平A₁BC的法向量，利用向量法能示出二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答： （1）證明：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知設(shè)P（t，0，1），0＜t＜

2

，A（

2

，0，0），
B（0，1，0），Q（

2

2

，

1

2

，0），C（0，0，0），M（0，1，

1

2

），A1(

2

，0，1)，

PQ

=(

2

2

-t，

1

2

，-1)，

CM

=（0，1，

1

2

），
∵

PQ

•

CM

=0+

1

2

-

1

2

=0，
∴PQ⊥CM．
（2）解：

BA

=（

2

，-1，0），

BA1

=（

2

，-1，1），

CB

=（0，1，0），
設(shè)平面AA₁B的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • BA = 2 x-y=0 n • BA1 = 2 x-y+z=0

，
取x=

2

，得

n

=（

2

，2，0），
設(shè)平A₁BC的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • BA1 = 2 a-b+c=0 m • BC =b=0

，
取a=

2

，得m=（

2

，0，-2），
設(shè)二面角A-A₁B-C大小的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

6 • 6

|=

1

3

，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．