Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x-2sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

， 

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值，以及對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角與兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）通過(guò)x∈[-

π

6

， 

π

3

]，求出函數(shù)f（x）的角的范圍，然后根據(jù)三角函數(shù)的最值，求解函數(shù)的最大值和最小值，以及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+cos2x-1（2分）．
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1（3分）
=2(sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

)-1（4分）
=2sin(2x+

π

6

)-1（5分）
所以最小正周期為π（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="o555qrn" class="MathJye">x∈[-

π

6

， 

π

3

]，所以-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，（8分）
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）的最大值為1（10分）
當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時(shí)，f（x）的最小值為-2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力．