Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）證明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接BD，MO，
在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，
又M為PD的中點(diǎn)，所以PB∥MO。
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110825/20110825101319828908.gif" border=0>平面ACM，平面ACM，
所以PB∥平面ACM。
（Ⅱ）證明：因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110825/20110825101319875987.gif" border=0>，且AD=AC=1，
所以，即AD⊥AC，
又PO⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以PO⊥AD，
而AC∩PO=O，
所以AD⊥平面PAC。
（Ⅲ）解：取DO的中點(diǎn)N，連接MN，AN，
因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，
所以MN∥PO，且，
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，
在Rt△DAO中，，
所以，
從而，
在Rt△ANM中，，
即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為。