Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：，過拋物線焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且的周長為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線過焦點(diǎn)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)，求：的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】

（1）先求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用計(jì)算的周長可得p，進(jìn)而求得拋物線方程；

（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線與的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及與的交點(diǎn)P，可得，再利用焦半徑公式求得，可得結(jié)果.

（1）由題意知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入拋物線的方程可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，

有，，可得的周長為，有，得.

故拋物線的方程為.

（2）由（1）知拋物線的方程可化為，求導(dǎo)可得.

設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、.

設(shè)直線的方程為（直線的斜率顯然存在）.

聯(lián)立方程消去整理為：，可得.

有，.

可得直線的方程為，整理為.

同理直線的方程為.

聯(lián)立方程，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由拋物線的幾何性質(zhì)知，，

.

有 .

∴.