Question

4．設(shè)AB是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）中不平行于對(duì)稱軸且過原點(diǎn)的一條弦，M是橢圓上一點(diǎn)，直線AM與BM的斜率之積k_AM•k_BM=$-\frac{16}{25}$，則該橢圓的離心率為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A（s，t），B（-s，-t），M（m，n），運(yùn)用直線的斜率公式和點(diǎn)差法，可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（s，t），B（-s，-t），M（m，n），
則k_AM•k_BM=$\frac{n-t}{m-s}$•$\frac{n+t}{m+s}$=$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{{m}^{2}-{s}^{2}}$=-$\frac{16}{25}$，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=1，
∴$\frac{{m}^{2}-{s}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{^{2}}$=0，
∴$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{{m}^{2}-{s}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{16}{25}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=$\frac{3}{5}$，
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查的離心率的求法和方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．