Question

（2012•綿陽二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+4n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且首項b₁和公比q滿足：

lim

n→∞

(

3n2+1

n+1

-qn-b1)=-S
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）設(shè)c_n=

3(an-3)•bn

4

，記數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，若不等式λ（a_n-2n）≤4T_n對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=5．當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3，驗證n=1時也成立．由此能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由cn=

3(an-3)bn

4

=n•3ⁿ，知T_n═3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，利用錯位相減法能求出Tn=

(2n-1)•3n+1+3

4

．不等式λ（a_n-2n）≤4T_n可化為λ≤（2n-1）•3ⁿ+1，由此能求出實數(shù)λ的最大值．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=5．
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3，
驗證n=1時也成立．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=2n+3（n∈N*）．
∵

lim

n→∞

(

3n2+1

n+1

-qn-b1)
=

lim

n→∞

(3-q)n2-(q+b1)n+1-b1

n+1

=-5，
∴

3-q=0 q+b1=5

，解得：b₁=2，q=3．
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為：b_n=2•3^n-1．（5分）
（Ⅱ）∵cn=

3(an-3)bn

4

=n•3ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ①
3T_n=3²+2•3ⁿ+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹②
由①-②得：-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3(3n-1)

3-1

-n•3n+1
=

(1-2n)•3n+1-3

2

，
∴Tn=

(2n-1)•3n+1+3

4

．（8分）
不等式λ（a_n-2n）≤4T_n可化為λ≤（2n-1）•3ⁿ+1，（*）
設(shè)f （n）=（2n-1）•3ⁿ+1，
易知函數(shù)f （n）在n∈N^*上單調(diào)遞增，
故當n=1時（2n-1）•3ⁿ+1取得最小值為4，
∴由題意可知：不等式（*）對一切n∈N^*恒成立，只需λ≤4．
∴實數(shù)λ的最大值為4．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，求實數(shù)λ的最大值．綜合性強，難度大，是高考的重點，易錯點是不等式λ（a_n-2n）≤4T_n化為λ≤（2n-1）•3ⁿ+1．解題時要認真審題，仔細解答，注意極限的合理運用．