Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x，則f（x）的單調遞增區(qū)間是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：當x＜0時，-x＞0，結合當x≥0時，f（x）=x²-2x，可求出當x＜0時f（x）的解析式，進而得到f（x）在R上的解析式，結合二次函數的圖象和性質，分別求出當x≥0時和當x＜0時f（x）的單調遞增區(qū)間，最后綜合討論結果可得f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答： 解：當x＜0時，-x＞0，
由當x≥0時，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又∵y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x，
∴f(x)=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

∵f（x）=x²-2x的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
故當x≥0時，f（x）在（1，+∞）為增函數．
又∵f（x）=-x²-2x的圖象是開口朝下，且以直線x=-1為對稱軸的拋物線，
故當x＜0時，f（x）在（-∞，-1）為增函數．
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），
故答案為：（-∞，-1）和（1，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，利用函數奇偶性的性質求函數的解析式，熟練掌握函數奇偶性的定義及性質，是解答的關鍵．