Question

（2006•蚌埠二模）已知函數(shù)f（x）=-acos2x-

3

asin2x+2a+b，（a＞0）在x∈[0，

π

2

]時，有f（x）的值域為[-5，1]．
（1）求a，b的值；
（2）說明函數(shù)y=f（x）的圖象可以由y=cos2x的圖象經過怎樣的變換得到；
（3）若g（t）=at²+bt-3，t∈[-1，0]，求g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由兩角差的余弦公式化簡函數(shù)解析式，由x的范圍求出“2x-

π

3

”，再由余弦函數(shù)的性質求出對應余弦值的范圍，再由a的符號和函數(shù)的最值列出方程組，求出a和b；
（2）由（1）求出函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象平移法則寫出平移和變換的過程；
（3）由（1）求出函數(shù)的解析式，并進行配方，再由二次函數(shù)的單調性，判斷出在[-1，0]上的單調性，再由函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）由題意得，
f(x)=-acos2x-

3

asin2x+2a+b=-2acos(2x-

π

3

)+2a+b，
由0≤x≤

π

2

得，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
則-

1

2

≤cos(2x-

π

3

)≤1，
又∵a＞0，
∴

f(x)max=3a+b=1 f(x)min=b=-5

，解得

a=2 b=-5

，
（2）由（1）知，
f(x)=-4cos(2x-

π

3

)-1=4cos(2x+

2π

3

)-1，
∴由y=cos2x的圖象先向左平移

π

3

個單位，然后橫坐標不變、縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
再向下平移1個單位，即可得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（3）由（1）知，
g(t)=2t2-5t-3=2(t-

5

4

)2-

49

8

，
∴當t∈[-1，0]時，g（t）單調遞減，
∴g（t）_min=g（0）=-3．

點評：本題主要考查了余弦函數(shù)的性質，三角函數(shù)圖象的平移變換法則，以及兩角差的余弦公式，二次函數(shù)的單調性等，比較綜合，但是難度不大．