Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是AB，A₁C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁B₁C；
（Ⅲ）求二面角M-B₁C-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（I）連接BC₁，AC₁．利用矩形的性質(zhì)和三角形的中位線定理可得MN∥BC₁．再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）如圖，以B₁為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則B₁（0，0，0），C（0，2，2），A₁（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）．利用數(shù)量積

MN

•

B1C

=0，

MN

•

A1B1

=0即可證明MN⊥平面A₁B₁C；
（III）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：連接BC₁，AC₁．
在△ABC₁中，∵M(jìn)，N分別是AB，A₁C的中點(diǎn)，∴MN∥BC₁．
又MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁．
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（II）如圖，以B₁為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則B₁（0，0，0），C（0，2，2），A₁（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）．
∴

B1C

=（0，2，2），

A1B1

=（2，0，0），

NM

=（0，-1，1）．
∴

MN

•

B1C

=0-2-2=0，

MN

•

A1B1

=0+0+0=0，
∴MN⊥B₁C，MN⊥A₁B₁．
又B₁C∩A₁B₁=B₁，
∴MN⊥平面A₁B₁C；
（III）設(shè)平面B₁CM的法向量為

m

=（x，y，z）．
∵

B1M

=（-1，0，2），

B1C

=（0，2，2）．
∴

m • B1M =-x+2z=0 m • B1C =2y+2z=0

，令x=2，則z=1，y=-1，∴

m

=(2，-1，1)．
由（II）可知：

NM

=（0，-1，1）是平面A₁B₁C的法向量．
∴cos＜

m

，

NM

＞=

m • NM

| m | | NM |

=

2

6 • 2

=

3

3

．
由圖可知：二面角M-B₁C-A₁的平面角是銳角．
∴二面角M-B₁C-A₁的余弦值是

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直棱柱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量證明線面垂直和求二面角的余弦值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了空間想象能力和推理能力，屬于難題．