Question

函數f(x)=x2-

1

x

+alnx在（1，2）上存在單調遞增區(qū)間的充要條件是

a∈（-

17

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：先將函數f(x)=x2-

1

x

+alnx在（1，2）上存在單調遞增區(qū)間的問題轉化為其導函數f′（x）＞0在（1，2）上能成立問題，再將導函數的分子看做新函數g（x），通過導數討論其圖象性質即可得g（x）＞0在（1，2）上能成立時a的范圍

解答：解：f′(x)=2x +

1

x 2

+

a

x

=

2x3+ax+1

x 2

  （x＞0）
設g（x）=2x³+ax+1，則g′（x）=6x²+a
若a≥-6，則因為6x²＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＞0，從而f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上為增函數
若-24＜a＜-6，則由g′（x）=0，得x=±

- a 6

且2＞

- a 6

＞1
∴g（x）在（1，

- a 6

）上是減函數，在（

- a 6

，2）上為增函數
要使函數f(x)=x2-

1

x

+alnx在（1，2）上存在單調遞增區(qū)間
只需g（x）＞0在（1，2）上能成立
只需g（1）=3+a＞0，或g（2）=17+2a＞0
即a＞-

17

2

，此時-

17

2

＜a＜-6
若a≤-24，則因為24＞6x²＞6在（1，2）上恒成立，所以g′（x）＜0，從而f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上為減函數，不合題意
綜上所述，函數f(x)=x2-

1

x

+alnx在（1，2）上存在單調遞增區(qū)間的充要條件是a∈（-

17

2

，+∞）
故答案為a∈（-

17

2

，+∞）

點評：本題考查了導數運算和導數在函數單調性中的應用，不等式能成立問題的解法，分類討論的思想方法和轉化化歸的思想方法，確定討論標準并不重不漏是解決本題的關鍵