Question

1．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足$\frac{\sqrt{2}a-b}{c}$=$\frac{cosB}{cosC}$．
（1）求角C的大小；
（2）設函數(shù)f（x）=cos（2x+C），將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和和差角的三角函數(shù)可得cosC，可得C值；
（2）由函數(shù)圖象變換可得g（x）=cos（2x-$\frac{π}{4}$），由x∈[0，$\frac{π}{3}$]和三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（1）∵$\frac{\sqrt{2}a-b}{c}$=$\frac{cosB}{cosC}$，∴由正弦定理可得$\frac{\sqrt{2}sinA-sinB}{sinC}$=$\frac{cosB}{cosC}$，
∴$\sqrt{2}$sinAcosC-sinBcosC=cosBsinC，即$\sqrt{2}$sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC
∴$\sqrt{2}$sinAcosC=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，
同除以sinA變形可得cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C為三角形內(nèi)角，∴C=$\frac{π}{4}$；
（2）由（1）和題意可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{4}$），
將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g（x）=cos[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$）]=cos（2x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴當2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$即x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)取最小值cos$\frac{5π}{12}$=cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；
當2x-$\frac{π}{4}$=0即x=$\frac{π}{8}$時，函數(shù)取最大值1，
故所求值域為：[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，1]

點評 本題考查三角函數(shù)圖象變換，涉及設三角函數(shù)的最值和正弦定理，屬中檔題．