Question

【題目】已知圓：與直線：，動直線過定點(diǎn).

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)N．探索是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為或（2）為定值，詳見解析

【解析】

（1）假設(shè)直線方程，再根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑求解；（2）根據(jù)向量加法三角形法和數(shù)量積公式把化為，聯(lián)立兩直線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，把向量積用坐標(biāo)表示，化簡即可的得到結(jié)果.

解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，

直線的方程為，此時與圓相切，符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時，

設(shè)直線的方程為，即，

若直線與圓相切，則圓心 到直線的距離等于半徑1，

所以，解得 ，

所以直線的方程為，即.

綜上，直線的方程為或.

直線的方程為或．

（2）∵⊥，

∴

若直線與軸垂直時，不符合題意；

所以的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

則由，即．

∴，

從而．

綜上所述， ．