Question

（2012•張掖模擬）已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D與BC₁所成的角為

π

2

，則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為（　　）

• A．

  6

  3

• B．

  1

  2

• C．

  15

  5

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根據(jù)已知中長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D與BC₁所成角為90°，易判斷這是一個棱長為2的正方體，設(shè) O為B₁D₁的中點(diǎn)，證明C₁O⊥平面 BB₁D₁D，得出∠C₁BO為直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角，解三角形∠C₁BO即可得到直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的大�。�

解答：解：因為在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2
∴上下底面為正方形
又∵BC₁∥AD₁，A₁D與BC₁所形成的角為90°，
∴A₁D與AD₁所成的角為90°，
∴AA₁D₁D為正方形，
∴ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體
設(shè) O為B₁D₁的中點(diǎn)，則由C₁O⊥B₁D₁，C₁O⊥B₁B，
得出C₁O⊥平面 BB₁D₁D
連接BO，則∠C₁BO為直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角
∵BC₁=2

2

； C₁O=

2

∴sin∠C₁BO=

1

2

∠C₁BO=30°
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面所成的角的概念與計算，考查空間想象能力、推理論證、計算能力．其中判斷出棱柱為正方體且C₁BO為直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角，是解答本題的關(guān)鍵．