Question

（09年湖北重點中學聯(lián)考理）（12分）

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90⁰，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點。

（1）求證：PB∥平面EFG；

（2）求異面直線EG與BD所成的角；

Answer 1

解析： 解法一：（1）證明：取AB中點H，連結GH，HE，

∵E，F(xiàn)，G分別是線段PA、PD、CD的中點，

∴GH//AD//EF，

∴E，F(xiàn)，G，H四點共面。又H為AB中點，

∴EH//PB。又面EFG，平面EFG，

∴PB//面EFG。                                                 

（2）解：取BC的中點M，連結GM、AM、EM，則GM//BD，

∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角。在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在Rt△MGE中，

故異面直線EG與BD所成的角為。                     12分

解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

 

則，，，， ，，，。（1）證明：∵，，，設，即

解得�！�，又∵與不共線，∴、與共面�！�平面EFG，∴PB//平面EFG。 6分

（2）解：∵，，∴。

故異面直線EG與BD所成的角為。                     12分