Question

15．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P在雙曲線上，且PF₁⊥PF₂，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{13}}{2}$，點P到x軸的距離為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，可得離心率e，設P（m，n），由F₁（-$\sqrt{13}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{13}$，0），運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及P在雙曲線上，滿足方程，解方程可得n，進而得到所求P到x軸的距離．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=2，b=3，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{13}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
PF₁⊥PF₂，設P（m，n），由F₁（-$\sqrt{13}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{13}$，0），
可得$\frac{n}{m+\sqrt{13}}$•$\frac{n}{m-\sqrt{13}}$=-1，
即為m²+n²=13，
又$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，
解得n=±$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
即有P到x軸的距離為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{2}$；$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是離心率的求法，點滿足雙曲線的方程，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于基礎題．