Question

6．已知不等式$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}＞lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍為（　�。�

• A． （0，3）
• B． （1，3）
• C． （2，4）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 由于$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，于是原不等式化為$1-\frac{1}{n+1}$＞$lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$，由于不等式$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}＞lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，可得$1-\frac{1}{2}＞$log₂（a-1）+a-$\frac{7}{2}$，化簡(jiǎn)整理利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴不等式$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}＞lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$，
化為$1-\frac{1}{n+1}$＞$lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$，
由于不等式$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}＞lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，
∴$1-\frac{1}{2}＞$log₂（a-1）+a-$\frac{7}{2}$，
化為4-a＞log₂（a-1），
∴1＜a＜3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列“裂項(xiàng)求和”、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．