Question

16．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象如圖所示，且過點（0，1），其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)的解析式．
（2）若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位所對應(yīng)的函數(shù)h（x）是奇函數(shù)，求滿足條件的最小正實數(shù)m．
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+a+1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，若函數(shù)g（x）恰有兩個零點，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象可得T=（$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{12}$）解得ω，圖象經(jīng)過（-$\frac{π}{12}$，0），0=Asin（2×-$\frac{π}{12}$+φ），|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，圖象經(jīng)過（0，1），1=Asin（2×0+$\frac{π}{6}$），可得A，從而可求函數(shù)的解析式．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得y=sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）為奇函數(shù)，可得2m+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，得到當t=sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1）時，方程g（x）=0有兩個零點，即2t+a+1=0，t∈[$\frac{1}{2}$，1），由此建立關(guān)于a的不等式，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)的圖象可得T=（$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{12}$）=π，T=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2．
圖象經(jīng)過（-$\frac{π}{12}$，0），0=Asin（2×-$\frac{π}{12}$+φ），|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{6}$，
圖象經(jīng)過（0，1），1=Asin（2×0+$\frac{π}{6}$），可解得A=2，
故f（x）的解析式為y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）把函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位所對應(yīng)的函數(shù)的解析式為：
y=sin[2（x+m）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$），
再根據(jù)y=sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）為奇函數(shù)，
可得2m+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，
故m的最小值為$\frac{5π}{12}$．
（3）g（x）=f（x）+a+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
∵當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，且x≠$\frac{π}{6}$時，存在兩個自變量x對應(yīng)同一個sinx（2x+$\frac{π}{6}$），
即當t=sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1）時，方程g（x）=0有兩個零點，
∵g（x）=f（x）+a+1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個零點，即2t+a+1=0，t∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴t=$\frac{-a-1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1），
解之得a∈（-3，-2]．

點評 本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)判斷，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．