Question

15．一種計算裝置，有一數據入口A和一個運算出口B，按照某種運算程序：
①當從A口輸入自然數1時，從B口得到$\frac{1}{3}$，記為$f（1）=\frac{1}{3}$；
②當從A口輸入自然數n（n≥2）時，在B口得到的結果f（n）是前一個結果f（n-1）的$\frac{{2（{n-1}）-1}}{{2（{n-1}）+3}}$倍．
（1）當從A口分別輸入自然數2，3，4 時，從B口分別得到什么數？并求f（n）的表達式；
（2）記S_n為數列{f（n）}的前n項的和．當從B口得到16112195的倒數時，求此時對應的S_n的值．

Answer 1

分析 （1）根據f（n）=$\frac{2n-3}{2n+1}$f（n-1），依次計算f（2），f（3），f（4），根據規(guī)律猜想f（n），利用數學歸納法證明；
（2）令f（n）=$\frac{1}{16112195}$，計算n，使用列項法求出S_n．

解答 解：（1）由題意得f（n）=$\frac{2n-3}{2n+1}$f（n-1），f（1）=$\frac{1}{3}$，
∴f（2）=$\frac{1}{5}$f（1）=$\frac{1}{15}$，
f（3）=$\frac{3}{7}$f（2）=$\frac{1}{35}$，
f（4）=$\frac{5}{9}$f（3）=$\frac{1}{63}$．
猜測：f（n）=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
顯然n=1時，猜想成立，
假設n=k時，猜想成立，即f（k）=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$，
則n=k+1時，f（k+1）=$\frac{2k-1}{2k+3}$f（k）=$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{1}{[2（k+1）-1][2（k+1）+1]}$，
∴當n=k+1時，猜想成立，
∴f（n）=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
（2）令f（n）=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{16112195}$得4n²=16112196，∴n=2007，
∴S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{4013×4015}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4013}$-$\frac{1}{4015}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+…$\frac{1}{4013}$-$\frac{1}{4015}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{4015}$）=$\frac{2007}{4015}$．

點評 本題考查了數列通項公式的求法，數列求和，屬于中檔題．