Question

橢圓有兩頂點A（-1，0）、B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q．
（Ⅰ）當|CD|=時，求直線l的方程；
（Ⅱ）當點P異于A、B兩點時，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓有兩頂點A（-1，0）、B（1，0），焦點F（0，1），可知橢圓的焦點在y軸上，b=1，c=1，，可以求得橢圓的方程，聯立直線和橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理和弦長公式可求出直線l的方程；
（Ⅱ）根據過其焦點F（0，1）的直線l的方程可求出點P的坐標，該直線與橢圓交于C、D兩點，和直線AC與直線BD交于點Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點Q的坐標，代入即可證明結論．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為（a＞b＞0），
由已知得b=1，c=1，所以a=，
橢圓的方程為，
當直線l與x軸垂直時與題意不符，
設直線l的方程為y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得（k²+2）x²+2kx-1=0，
則x₁+x₂=-，x₁•x₂=-，
∴|CD|==
==，
解得k=．
∴直線l的方程為y=x+1；
（Ⅱ）證明：當直線l與x軸垂直時與題意不符，
設直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

∴P點的坐標為（-，0），
由（Ⅰ）知x₁+x₂=-，x₁•x₂=-，
且直線AC的方程為y=，且直線BD的方程為y=，
將兩直線聯立，消去y得，
∵-1＜x₁，x₂＜1，∴與異號，
=
=，
y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1==-，
∴與y₁y₂異號，與同號，
∴=，解得x=-k，
故Q點坐標為（-k，y），
=（-，0）•（-k，y）=1，
故為定值．
點評：此題是個難題．本題考查了橢圓的標準方程和簡單的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．體現了分類討論和數形結合的思想．