Question

13．已知可行域$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y+\sqrt{2}≥0}\\{x+y-\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$的外接圓C與x軸交于A₁、A₂點，M（1，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)P點是圓C上異于A₁、A₂的動點，過O作直線PM的垂線交L：x=2于Q點，判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，可行域是以A₁、A₂，M為頂點的三角形．因為kA1M•kA2M=-1，所以A1M⊥A2M，所以△A₁A₂M為直角三角形，外接圓C₁的方程為x²+y²=2．
（2）設(shè)P（x0，y0）（　�。�，則y02=2-x02，當x₀=1時，OP⊥PQ，直線PQ與圓C₁相切．當x0≠1時，kPF=，kOQ=-．當x₀=0時，OP⊥PQ．當x0≠0時，kOP=，OP⊥PQ．綜上，當x0≠±時，故直線PQ始終與圓C₁相切

解答 解：（1）由題意可知，易得可行域如，是以A₁（-$\sqrt{2}$，0），A₂（$\sqrt{2}$，0）及點B（$\sqrt{2}$，0）為頂點的三角形（1分
因為k${\;}_{{A}_{1}B}$•k${\;}_{{A}_{2}B}$=-1，所以A₁B⊥A₂B，
∴△A₁A₂B為直角三角形
∴外接圓C₁是以原點O為圓心，線段|A₁A₂|=2$\sqrt{2}$為直徑的圓，
故其方程為x²+y²=2（3分）
（2）設(shè)P（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），Q（2，y），所以$\overrightarrow{PM}$=（1-$\sqrt{2}$cosθ，-$\sqrt{2}$sinθ），則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OQ}$=0，則2$\sqrt{2}$cosθ-2+$\sqrt{2}$ysinθ=0，
則$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PQ}$=（-$\sqrt{2}$cos$θ，-\sqrt{2}$sinθ）•（2-$\sqrt{2}$cosθ，y-$\sqrt{2}$sinθ）=-2$\sqrt{2}$cosθ+2cos²θ-$\sqrt{2}$ysinθ+2sin²θ=2-2$\sqrt{2}$cosθ-$\sqrt{2}$ysinθ=0，
所以$\overrightarrow{PO}⊥\overrightarrow{PQ}$，
故PQ與圓相切．

點評 本題考查了平面區(qū)域、曲線方程以及直線與圓位置關(guān)系的判斷；利用向量的數(shù)量積為0，判斷直線垂直是常用的方法．