Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足條件f（-x+1）=f（x+1），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸是-$\frac{2a}$=1，求出c=2，再根據(jù)方程（x）=x有等根，得到△=0，聯(lián)立方程組解出即可；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≤（x-1）_min或m≥（x-1）_max即可．

解答 解：（1）∵f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
而二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$，∴-$\frac{2a}$=1．①，
由f（2）=0，得：c=0，
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x+2=0有等根，∴△=（b-1）²-8a=0．②
由①②解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-1；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+2，
g（x）=f（x）-mx=$\frac{1}{2}$x²-（m+1）x+2，
g′（x）=x-（m+1），
若x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調(diào)函數(shù)，
則g′（x）≥0或g′（x）≤0在x∈[-1，1]恒成立，
即m≤（x-1）_min=-2或m≥（x-1）_max=0，
∴m≥0或m≤-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道中檔題．