Question

已知△ABC和不共面，如圖所示．(1)若直線，，兩兩相交，求證：這三條直線交于一點(diǎn)；

(2)若直線AB與，BC與，CA與分別相交于P、Q、R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：(1)∵兩兩相交，假設(shè)． 相交，可知共面，設(shè)為α．同理也共面，設(shè)為β． 由于平面β，平面α， ∴M∈平面β，M∈平面α． ∴平面α與平面β的交線應(yīng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M． 易證平面α∩平面，即． ∴三條直線相交于一點(diǎn)． (2)由題意知，， ∵P∈正直線AB，P∈直線． 又∵直線平面ABC，直線平面， ∴P∈平面ABC，且P∈平面， ∴點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上． 同理可證，Q、R兩點(diǎn)也在平面ABC與平面的交線上． 即P、Q、R三點(diǎn)共線．

提示：

(1)要證相交于一點(diǎn)，可先給出兩條直線相交于某一點(diǎn)，再證該點(diǎn)在另外的一條線上；(2)要證P、Q、R三點(diǎn)共線，可先找到兩個(gè)平面，只要證明P、Q、R三個(gè)點(diǎn)都在這兩個(gè)平面內(nèi)即可．