Question

（08年青島市質(zhì)檢一理）  （12分）如圖，在底面是正方形的四棱錐P―ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1。

   （I）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF//平面AEC？證明你的結(jié)論；

   （II）求二面角P―AC―E的平面角的大小。

 

Answer 1

解析:證明：（I）當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)，則有BF//平面AEC

    取PE中點(diǎn)M，連執(zhí)著FM，BM，連接BD

    交AC于O，連接OE

    ∵F，M分別是PC，PE的中點(diǎn)

∴FM∥CE，

又FM面AEC，CE面AEC

∴FM∥面AEC …………3分

又E是DM的中點(diǎn)

OE//BM，OE平面AEC，BM面AEC

∴BM∥面AEC且BM∩FM=M

∴平面BFM∥平面ACE

又BF平面BFM

∴BF∥平面ACE …………6分

   （II）在底面是正方形的四棱錐P―ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=，

∴AB=AD=

∴PB²=PA²+AB²，PD²=PA²+AD²

∴PA⊥AB，PA⊥AD

∴PA⊥面ABCD                                                                     …………7分

建立如圖所示坐標(biāo)系A(chǔ)―xyz

則有A（0，0，0），P（0，0，2），D（），O

面PAC

∴面PAC的法向量為                        …………9分

設(shè)面AEC的法向量，

由得：

                                …………10分

∴二面角P―AC―E的平面角的值為          …………12分