Question

11．如圖，在直角坐標平面xOy內(nèi)已知定點F（1，0），動點P在y軸上運動，過點P作PM交x軸于點M，使得$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，延長MP到點N，使得|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|
（1）當|$\overrightarrow{OP}$|=1時，求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$；
（2）求點N的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，M（-1，0），N（1，2），利用數(shù)量積公式求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$；
（2）設(shè)出動點N，則M，P的坐標可表示出，根據(jù)$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，利用數(shù)量積公式求得x和y的關(guān)系式，即N的軌跡方程．

解答 解：（1）由題意，M（-1，0），N（1，2），
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（-2，0）•（0，2）=0；
（2）設(shè)動點N（x，y），則M（-x，0），P（0，$\frac{y}{2}$）（x＞0）．
∵$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，
∴（-x，-$\frac{y}{2}$）•（1，-$\frac{y}{2}$）=0，
∴y²=4x（x＞0）即為所求．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，兩個向量的數(shù)量的運算，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．