Question

9．如圖正方形ADMN與矩形ABCD所在平面互相垂直，點(diǎn)E在線段AB上，AB=2AD=6．
（Ⅰ）若AE=EB，求證：BM∥平面NDE；
（Ⅱ）若BE=2EA，求三棱錐M-DEN的體積．

Answer 1

分析 （I）連接AM，交ND于F，連接EF．由正方形性質(zhì)可得AF=FM，又AE=EB，可得EF∥BM．利用線面平行的判定定理即可得出；
（II）當(dāng)BE=2EA時(shí)，EA=$\frac{1}{3}$AB=2，利用線面垂直的判定定理可得：AB⊥平面ADMN．利用V_M-DEN=V_E-NDM=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{△DNM}$，即可得出．

解答 （I）證明：連接AM，交ND于F，連接EF．
由正方形ADMN可得AF=FM，又AE=EB，
∴EF∥BM．
∵BM?平面NDE，EF?平面NDE，
∴BM∥平面NDE；
（II）解：當(dāng)BE=2EA時(shí)，EA=$\frac{1}{3}$AB=2，
∵AB⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面ADMN．
∴V_M-DEN=V_E-NDM=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{△DNM}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×{3}^{2}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、線面面面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、三角形中位線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．