Question

9．解下列不等式．
（1）6x²-x-1≥0；
（2）-x²+2x-$\frac{2}{3}$＞0；
（3）$\frac{x+1}{2-x}$≥3；
（4）$\frac{3{x}^{2}-14x+14}{{x}^{2}-6x+8}$≥1．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的解法求出對應方程的根，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；
（2）先化簡不等式，由一元二次方程的解法求出對應方程的根，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；
（3）先化簡分式不等式，再等價轉化為一元二次不等式組，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；
（4）先化簡分式不等式，再等價轉化為對應不等式組，由穿根法求出高次不等式的解集．

解答 解：（1）由6x²-x-1=0得（3x+1）（2x-1）=0，
解得x=$-\frac{1}{3}$ 或x=$\frac{1}{2}$，…2
所以不等式6x²-x-1≥0 的解集為{x|x$≤-\frac{1}{3}$或x$≥\frac{1}{2}$}…4
（2）由-x²+2x-$\frac{2}{3}$＞0得3x²-6x+2＜0，
因為3＞0，且方程3x²-6x+2=0的解是：x₁=$1-\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=$1+\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以原不等式的解集是 {x|$1-\frac{\sqrt{3}}{3}＜x＜1+\frac{\sqrt{3}}{3}$}…8
（3）由$\frac{x+1}{2-x}≥3$得$\frac{x+1}{2-x}-3≥0$，則$\frac{x+1-3（2-x）}{2-x}≥0$，即$\frac{4x-5}{2-x}≥0$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{（4x-5）（x-2）≤0}\\{x-2≠0}\end{array}\right.$，解得$\frac{5}{4}≤x＜2$，
則不等式的解集是{x|$\frac{5}{4}≤x＜2$}…12
（4）原不等式化為：$\frac{3{x}^{2}-14x+14}{{x}^{2}-6x+8}-1≥0$，
整理得$\frac{（x-1）（x-3）}{（x-2）（x-4）}≥$ 0
即$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）≥0}\\{x-2≠0且x-4≠0}\end{array}\right.$，如圖
所以原不等式的解集為{x|x≤1或2＜x≤3或x＞4}…16

點評 本題考查了分式不等式的化簡以及等價轉化，一元二次不等式的解法，以及穿根法求高次不等式的解集，考查轉化思想，化簡、變形能力．