Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

4

=1的弦AB的中點M的坐標(biāo)為（2，1），求直線AB的方程，并求AB的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，根據(jù)橢圓的對稱軸，得到該直線的斜率存在，設(shè)其方程為y-1=k（x-2），然后聯(lián)立方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并且借助于中點坐標(biāo)公式，確定斜率k的值，然后，利用兩點間的距離公式或弦長公式，求解AB的長．

解答： 解：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，不成立，
故直線AB的斜率存在，
設(shè)其方程為y-1=k（x-2），
聯(lián)立方程組

x2 16 + y2 4 =1 y=k(x-2)+1

，消去y并整理，得
（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-16=0，
∴x₁+x₂=-

8k(1-2k)

1+4k2

，
∵

x1+x2

2

=2，
∴2k（2k-1）=1+4k²，
∴k=-

1

2

，
∴直線AB的方程：x+2y-4=0．
將k=-

1

2

代人（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-16=0，
得x²-4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（0，

3

2

），B（4，-

1

2

），
∴|AB|=

42+(- 1 2 - 3 2 )2

=2

5

．
∴AB的長2

5

．

點評：本題屬于中檔題，重點考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式、兩點間的距離公式等知識，屬于高考的熱點和重點問題．