Question

過原點(diǎn)O作經(jīng)過A(1，1)，B(2，2)兩點(diǎn)的圓的切線，則切點(diǎn)的軌跡是

[　　]

A．

4x²＋y²＝1(x≠y)

B．

x²－y²＝4(x≠y)

C．

4y²＋x²＝1(x≠y)

D．

x²＋y²＝4(x≠y)

Answer 1

答案：D
解析：

分析一：若是選擇、填空題可考慮選用幾組特殊值代入求解． 　　解法一：如圖，若AB為直徑，C為圓心，過點(diǎn)O作該圓的切線，P(x，y)為切點(diǎn)． 　　因?yàn)辄c(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為． 　　連接CP，則CP⊥OP． 　　所以O(shè)P2＝OC2－CP2，即OP2＝OC2－CA2． 　　所以x2＋y2＝＋－＝4(x≠y)．故選D． 　　分析二：過點(diǎn)O作經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的切線，設(shè)P為切點(diǎn)，考慮PO是否為定值，若是，則點(diǎn)P的軌跡可確定． 　　解法二：過點(diǎn)O作經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的切線，設(shè)P為切點(diǎn)． 　　如圖，連接AP． 　　因?yàn)閮梢阎�點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(2，2)， 　　所以O(shè)，A，B三點(diǎn)在同一直線上． 　　結(jié)合平面幾何知識，可知∠OPA＝∠B． 　　又因?yàn)椤螦OP＝∠BOP，所以△AOP∽△POB． 　　所以＝． 　　所以O(shè)P2＝OA·OB＝×＝4． 　　所以|OP|＝2． 　　所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑長的圓(不包括(，)，(－，－)兩點(diǎn))，其軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠y)．故選D． 　　分析三：由已知條件設(shè)法找到一幾何等式，然后將其坐標(biāo)化，即可得到切點(diǎn)的軌跡方程． 　　解法三：由解法二知，OP2＝OA·OB．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，將坐標(biāo)代入，得x2＋y2＝×＝4(x≠y)．故選D． 　　分析四：設(shè)P(x，y)為切點(diǎn)，C(a，b)為圓心，可先考慮將x，y，a，b聯(lián)系起來，然后消去a，b即可得到點(diǎn)P的軌跡方程． 　　解法四：設(shè)P(x，y)為切點(diǎn)，C(a，b)為圓心，如圖，則CP⊥OP． 　　所以O(shè)P2＝OC2－CP2＝OC2－CA2． 　　所以x2＋y2＝a2＋b2－[(a－1)2＋(b－1)2]＝2(a＋b)－2．(*) 　　因?yàn)閮梢阎�點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(2，2)， 　　所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為． 　　所以線段AB的垂直平分線CD的方程為x＋y－3＝0． 　　把C(a，b)代入，得a＋b－3＝0，即a＋b＝3， 　　代入(*)式，得x2＋y2＝6－2＝4(x≠y)． 　　故選D． 　　點(diǎn)評：以上四種解法雖然有些解法用到的等式一樣，但解法的本質(zhì)是不一樣的，希望同學(xué)們細(xì)心區(qū)分這四種解法的異同，領(lǐng)會其解題思想，掌握其解題方法，以便遇到軌跡題時(shí)可迅速選擇一種較簡捷的方法解答．