Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線CE∥平面PAB；
（Ⅱ）點(diǎn)M為棱PC 的中點(diǎn)，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，只需證明BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，即可得直線CE∥平面PAB；
（Ⅱ） 取AD的中點(diǎn)O，M在底面ABCD上的射影N為OC的中點(diǎn)．
取AB的中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ，即可得∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，解直角三角形MNQ即可得二面角M-AB-D的余弦值

解答 解（Ⅰ）證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，
所以EF∥AD且EF=AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥$\frac{1}{2}$AD，
∴BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CF?平面PAB，
∴直線CE∥平面PAB；
（Ⅱ）解：四棱錐P-ABCD中，
側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點(diǎn)．
取AD的中點(diǎn)O，M在底面ABCD上的射影N為OC的中點(diǎn)．
取AB的中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ
設(shè)AD=2，則AB=BC=1，OP=$\sqrt{3}$，
所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角．
由在直角三角形MNQ中，$MN=\frac{1}{2}PO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，NQ=1，MQ=\sqrt{{1^2}+{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
二面角M-AB-D的余弦值為：$\frac{NQ}{MQ}=\frac{1}{{\frac{{\sqrt{7}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，幾何法求二面角，屬于中檔題．