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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，證明: （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

【答案】（1）當時，的遞增區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

（1）由題意，函數(shù)的定義域為,

當時，恒成立，故的遞增區(qū)間為；

當時，在區(qū)間，時，時，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當時，在區(qū)間，時，時，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

綜上所述，當時，的遞增區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）當時，由,只需證明.

令，.

設，則.

當時，，單調(diào)遞減;

當時，，單調(diào)遞增,

∴當時，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是成立.

故成立.

練習冊系列答案

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費用，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷量（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響對近6年宣傳費和年銷量的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年宣傳費（萬元）	38	48	58	68	78	88
年銷售量（噸）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式，兩邊取對數(shù)，即，令，即對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關的值如下表：


75.3	24.6	18.3	101.4

（1）從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于21噸的概率．

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程；

（3）若生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為200（萬元），且每生產(chǎn)1（噸）產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為20（萬元）（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本+年宣傳費），銷售收入為（萬元），假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），2019年該公司計劃投入108萬元宣傳費，你認為該決策合理嗎？請說明理由．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）