Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線CD和PB所成角大小；
（2）求直線CD和平面ABE所成角大�。�

Answer 1

分析：分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
（1）設(shè)異面直線CD和PB所成角為α，用向量表示CD和PB，再利用公式可求．
（2）先求平面ABE的法向量，再利用公式求解．

解答：解：由題意，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸．設(shè)PA=a，則
P（0，0，a），B（a，0，0），C(

a

2

，

3 a

2

，0)，D(0，

2 3 a

3

，0)，E(

a

4

，

3 a

4

，

a

2

)
（1）設(shè)異面直線CD和PB所成角為α

CD

=(-

a

2

，

3 a

6

，0)，

PB

=(a，0，-a)
∴cosα=

6

4

∴異面直線CD和PB所成角為arccos

6

4

（2）設(shè)直線CD和平面ABE所成角為β
PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中點(diǎn)，故AE⊥PC，
PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．
從而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．
∵

PD

=(0，

2 3 a

3

，-a)，∴sinβ=

7

7

∴直線CD和平面ABE所成角為arcsin

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，主要考查線線角，線面角，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求解．