Question

已知函數(shù)，（）在處取得最小值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在處的切線方程為，求證：當時，曲線不可能在直線的下方；

（Ⅲ）若，（）且，試比較與的大小，并證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）導數(shù)法，先求導數(shù)，由條件，得出的值，再令或，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）導數(shù)法，構造新函數(shù)，再用導數(shù)法，證明在恒成立，從而得出結論；（Ⅲ）用導數(shù)的幾何意義，得出直線方程，在用導數(shù)法證明.

試題解析：（Ⅰ），由已知得,           （3分）

當時，此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,

（Ⅱ）,,在的切線方程為，

即.                                                   （6分）

當時，曲線不可能在直線的下方在恒成立，

令，,

當，，

即在恒成立，

所以當時，曲線不可能在直線的下方,                   （9分）

（Ⅲ）,

先求在處的切線方程，故在的切線方程為，即，

下先證明，

令

，

當，

.                                                 （14分）

考點：導數(shù)的運算法則，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，不等式的證明等知識.