Question

設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)²lnx，a∈R，
（Ⅰ）若x=e為y=f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈(0，3e]，恒有f(x)≤4e²成立。
注：e為自然對數(shù)的底數(shù)。

Answer 1

（Ⅰ）解：求導(dǎo)得f′(x)=2(x-a)lnx+，
因?yàn)閤=e是f(x)的極值點(diǎn)，
所以f'(e)=，
解得a=e 或a=3e，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
所以a=e或a=3e。
（Ⅱ）解：①當(dāng)0＜x≤1時，對于任意的實(shí)數(shù)a，恒有成立；
②當(dāng)1＜x≤3e，由題意，首先有，
解得；
由（Ⅰ）知，，
則，
且
，
又h(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)h(x)在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為x₀，
則，
從而，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
即f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
所以要使f(x)≤4e²對x∈(1，3e]恒成立，
只要成立，
，知，（3）
將（3）代入（1）得，
又，注意到函數(shù)在[1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，故；
再由（3）以及函數(shù)2xlnx+x在（1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，可得。
由（2）解得，
所以；
綜上，a的取值范圍為。