Question

曲線C上的每一點到定點F（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等．
（Ⅰ）求出曲線C的標準方程；
（Ⅱ） 若直線y=x-2與曲線C交于A，B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義可得曲線C上的每一點到定點F（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等的點的軌跡為焦點在x軸上，以F（2，0）為焦點的拋物線，從而可求
（Ⅱ）方法1：聯(lián)立

y=x-2 y2=8x

得x²-12x+4=0，利用弦長公式|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

可求
（Ⅱ）方法2：同（方法1）聯(lián)立

y=x-2 y2=8x

得x²-12x+4=0，x₁+x₂=12，根據(jù)拋物線焦點弦的弦長公式：|AB|=x₁+x₂+p可求

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C上的每一點到定點F（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等，
∴軌跡為焦點在x軸上，以F（2，0）為焦點的拋物線
標準方程為：y²=8x
（Ⅱ）方法1：聯(lián)立直線y=x-2與拋物線y²=8x
得

y=x-2 y2=8x

得：（x-2）²=8x
∴x²-12x+4=0，x₁+x₂=12，x₁x₂=4
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=144-16=128
∴|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

=16
直線和拋物線相交弦的長為16（12分）
（Ⅱ）方法2：直線y=x-2過拋物線的焦點F（2，0），AB為拋物線的焦點弦
y²=8x，p=4
聯(lián)立直線y=x-2與拋物線y²=8x

y=x-2 y2=8x

得：（x-2）²=8x
x²-12x+4=0，x₁+x₂=12
AB為拋物線的焦點弦，根據(jù)拋物線焦點弦的弦長公式：|AB|=x₁+x₂+p=16
∴直線和拋物線相交弦的長為16

點評：本題主要考查了利用拋物線的定義求解拋物線的方程，解題（I）的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用拋物線的定義，還考查的直線與拋物線的相交求解（焦點）弦長，常見的處理方法是聯(lián)立方程，根據(jù)方程的根滿足的關(guān)系，利用一般弦長公式|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

或利用焦點弦公式式：|AB|=x₁+x₂+p，法二可以簡化運算．