Question

設(shè)點(diǎn)P(x,y)(x≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P到定點(diǎn)M(，0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大?

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；

(2)若直線l與點(diǎn)P的軌跡相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，點(diǎn)O到直線l的距離為，求直線l的方程.

Answer 1

解：(1)依題意得|PM|=d+，其中d表示點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，

    即=|x|+.

∵x≥0,∴=x+.

    整理得y²=2x.

    這就是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，它表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，開口向右的一條拋物線.

(2)a.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由題設(shè)可知直線l的方程是x=.

    聯(lián)立x=與y²=2x，可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(，)與(，-)，此時(shí)不滿足OA⊥OB，故不合題意.

b.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=kx+b(其中k≠0,b≠0).

    將x=代入y²=2x中，

    并整理得ky²-2y+2b=0.                                                      ①

    設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則y₁、y₂為方程①的兩個(gè)根，于是y₁y₂=.又由OA⊥OB可得x₁x₂+y₁y₂=0.                                                  ②

    將x₁=、x₂=代入②并整理得y₁y₂+4=0,∴b+2k=0.    ③

    又由點(diǎn)O到直線l的距離為,得.                    ④

    聯(lián)立③④得k=1,b=-2或k=-1，b=2.

    故直線l的方程為y=x-2或y=-x+2.