Question

15．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{cos\frac{B}{2}}$，則△ABC的形狀是等腰三角形．

Answer 1

分析 由正弦定理和二倍角的正弦公式可得2cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$（sin$\frac{A}{2}$-sin$\frac{B}{2}$）=0，結(jié)合三角形知識可得A=B，可得等腰三角形．

解答 解：∵△ABC中$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{cos\frac{B}{2}}$，∴acos$\frac{B}{2}$=bcos$\frac{A}{2}$，
由正弦定理可得sinAcos$\frac{B}{2}$=sinBcos$\frac{A}{2}$，
∴2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{A}{2}$，
∴2cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$（sin$\frac{A}{2}$-sin$\frac{B}{2}$）=0，
∴cos$\frac{A}{2}$=0或cos$\frac{B}{2}$=0或sin$\frac{A}{2}$-sin$\frac{B}{2}$=0，
當(dāng)cos$\frac{A}{2}$=0或cos$\frac{B}{2}$=0時，A或B為π不合題意；
當(dāng)sin$\frac{A}{2}$-sin$\frac{B}{2}$=0時，A=B，三角形為等腰三角形．
故答案為：等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查三角形形狀的判斷，涉及正弦定理和二倍角的正弦公式，屬中檔題．