Question

【題目】設橢圓E： （a＞b＞0），其長軸長是短軸長的 倍，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設過右焦點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓E于P，Q兩點，在線段OF2（O為坐標原點）上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：不妨設焦點的坐標是（c，0），

則過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓的交點坐標為（c，y0），

代入 可得，y0= ，

因為過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2 ，

所以 ，

由題意得，a= b，代入上式解得：a=2 、b= ，

故所求橢圓方程為

（2）解：假設在線段OF2上存在點M（m，0）（ ）滿足條件，

∵直線與x軸不垂直，

∴設直線l的方程為 ．

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

由 ，可得 ．

則 ， ．

∴ ， ，其中x2﹣x1≠0，

∵以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，

∴ ．

∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0．

∴x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0．

∴ ．

化簡得 = （k≠0），

則

在線段OF2上存在點M（m，0）符合條件，且

【解析】（1）由題意先求出直線與橢圓的交點坐標，再列出方程求出a、b的值，代入橢圓方程即可；（2）先假設存在點M（m，0）（ ）滿足條件，由點斜式設出直線l的方程，以及P、Q的坐標，將直線方程代入橢圓方程化簡后，利用韋達定理、菱形的等價條件、向量知識，可求出m的范圍，再進行判斷．